期待値E(X)の累積分布関数による表示

損保数理8~10章で度々証明なしに利用されている以下の命題について考える。

命題：指数型分布族に従う確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ は $X$ の累積分布関数 $F(x)=P(X \leq x)$ で

$E(X) = \int_{0}^{\infty}(1-F(x))dx - \int_{-\infty}^{0}F(x)dx$

と表せる。

証明： $X^{+} := \max \{ X,0 \}$ 、 $X^{-} := \min \{ X,0 \}$ とすると、

　　 $E(X) = \int_{\Omega}XdP$

　　　　　 $=\int_{\Omega}(X^{+}(\omega)+X^{-}(\omega))dP(\omega)$

　　　　　 $=\int_{\Omega}\int_{0}^{X^{+}(\omega)}1dydP(\omega)-\int_{\Omega}\int_{X^{-}(\omega)}^{0}1dydP(\omega)$

　　　　　 $=\int_{\Omega}\int_{0}^{\infty}1_{ \{ y \lt X^{+}(\omega)\} }dydP(\omega) -\int_{\Omega}\int_{-\infty}^{0}1_{ \{ y \gt X^{-}(\omega) \} }dydP(\omega)$

　　　　　 $=\int_{0}^{\infty}(\int_{\Omega}1_{ \{ y \lt X^{+}(\omega)\} }dP(\omega))dy - \int_{-\infty}^{0}(\int_{\Omega}1_{ \{ y \gt X^{-}(\omega) \} }dP(\omega))dy$ （フビニの定理）